δε(x) = rect(x / ε) / ε
Schmaler und höher — die Fläche bleibt gleich.
Höhe: ∫ δε(x) dx = 1
Abtasteigenschaft
φ(x) = 1 + 0.5 cos(x) + 0.2 sin(x)
φ(x)∫ φ(x) δε(x) dx
δε(x) = 1/ε für |x| < ε/2, sonst 0. ε · (1/ε) = 1
Für ε → 0 konzentriert sich die Fläche am Ursprung. δ ist keine gewöhnliche Funktion mit endlicher Höhe: Entscheidend ist ihre Wirkung im Integral.
limε→0 ∫ φ(x) δε(x) dx = φ(0) = 1.5
Das Integral ist hier der Mittelwert von φ über [−ε/2, ε/2]. Je kleiner dieses Intervall, desto näher liegt der Mittelwert bei φ(0).